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By Hans-Rudolf Schwarz

Das vorliegende Buch entstand seinerzeit auf die Anregung meines verehrten Lehrers, Herrn Prof. Dr. E. Stiefel. Es richtet sich an Mathematiker, Physiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler, die an einer einfachen, auf die praktische und effiziente Durchführung ausgerichteten einführenden Darstel­ lung der Methode der finiten Elemente interessiert sind. Im elementar gehaltenen, einführenden Lehrbuch werden die Grundprinzi­ pien der Methode der finiten Elemente für ein- und zweidimensionale Probleme eingehend dargelegt. Die Verallgemeinerung der Ideen und Vorge­ hensweisen zur Lösung von dreidimensionalen Aufgaben liegt auf der Hand. Die Behandlung von ein- und zweidimensionalen Problemstellungen bietet den Vorteil anschaulich und durchsichtig zu sein. Es wurde versucht, aus dem weiten Anwendungsbereich der Methode der finiten Elemente typische und repräsentative Problemkreise auszuwählen und die zugehörigen Grundlagen darzustellen. So werden zuerst die für die Physik und verschiedene Zweige der Ingenieur- und Naturwissenschaften wichtigen stationären und instationären Feldprobleme behandelt. Darunter fallen elliptische Randwertaufgaben, instationäre Diffusions-und Wärmeleitungsprobleme sowie Schwingungsauf­ gaben. Aus dem weiten Gebiet der Elastomechanik werden nur Stäbe, Balken, Scheiben und Platten betrachtet, an denen das grundsätzliche Vorgehen im Rahmen der linearen Elastizitätstheorie aufgezeigt wird.

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Methode der finiten Elemente: Eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung der Rechenpraxis

Das vorliegende Buch entstand seinerzeit auf die Anregung meines verehrten Lehrers, Herrn Prof. Dr. E. Stiefel. Es richtet sich an Mathematiker, Physiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler, die an einer einfachen, auf die praktische und effiziente Durchführung ausgerichteten einführenden Darstel­ lung der Methode der finiten Elemente interessiert sind.

Die Bankgehilfenprüfung in Frage und Antwort

Die vorliegende Schrift ist aus der Praxis des Verfassers im Prüfungsausschuß und im Bankbetrieb entstanden. Sie ist vornehmlich für Lehrlinge der Kredit­ institute gedacht, die sich auf die Bankgehilfenprüfung, und hier insbesondere auf deren praktisch-theoretischen Teil, gründlich vorbereiten wollen.

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68) 38 I Mathematische Grundlagen Der von den Materialeigenschaften E und v sowie von der Plattendicke h abhängige Koeffizient D Eh 3 =-----;;- 12(1 - v 2 ) wird als Plattensteifigkeit bezeichnet. Bei der Behandlung der verschiedenen Spezialfälle wurden nur die Ausdrücke für die gesamte potentielle Energie gegeben und in keinem Fall irgendwelche Randbedingungen in Betracht gezogen. Es sei aber an dieser Stelle noch einmal ganz nachdrücklich darauf hingewiesen, daß die mathematische Aufgabe darin bestehen wird, die Energiefunktionale zu minimieren nur unter Berücksichtigung von geometrischen Randbedingungen, welche die Verschiebungen betreffen und im Fall der Balken- und Plattenbiegung allenfalls noch die Ableitungen bei eingespannten Enden bzw.

2 E{. 3 Der klassische Ritz-Ansatz 43 Mit den ZahlwertenE= 2 . 2cI O. 1303. 000217 cm. 4 lautet das Funktional 1 II=2 II G 1 c [(u;+u;)-Au 2 ]dxdy+2 f u 2 ds, B welches unter den geometrischen Randbedingungen U = 0 auf AB und CD stationär zu machen ist. Da hier die Randbedingungen homogen sind, entfällt die Funktion ~o(x,y). Zwei Funktionen, welche die Randbedingungen erfüllen sind beispielsweise ~I(X, y) = y(4 - y), ~2(X, y) = x 2y(4 - y). Folglich lautet die Ansatzfunktion und ihre ersten partiellen Ableitungen sind Auf dem Rand BC ist im Ansatz x = 5 einzusetzen und bezüglich y zu integrieren, da ja y gleich der Bogenlänge ist.

Hgrad 'Pk' grad 'Pj dxdy + cP a'Pk 'PjdS } an HX'Pk'Pj dxdy - Hgrad 'Po . grad 'Pj dxdy G rf, -",a'Po 'Pj ds 'f c C on G JJ fex, y, t)'Pj dxdy - JJ G G a'Po 'Pj dxdy = 0, x -;ut (j=1,2, ... ,m). 90) die Galerkinschen Gleichungen resultieren: ~ ~JJ L k =! + + i k=! ~ dt X'Pk'Pj dxdy G Ck(t) {H grad 'Pk' grad 'Pjdxdy + cJ a(S)'Pk(S)'Pj(S)dS} G [grad 'Po' grad 'Pj + + J [a(s)'PO(S, t) c2 2 k(X, y, t) + x a:ro } 'Pj 1dxdy Y(S)]'Pj ds = 0 (j = 1,2, ... 98) Die Galerkinschen Gleichungen stellen ein System von m gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung für die m Koeffizientenfunktionen Ck(t) dar.

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