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By Markus Junker

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Insbesondere ist G der einzige aufspannende induzierte Untergraph von sich selbst. Dieser Begriff wird dann interessant, wenn man aufspannende Untergraphen mit besonderen Eigenschaften sucht. 39 M. Junker Diskrete Algebraische Strukturen Varianten von Graphen In Multigraphen l¨ asst man Schlingen zu und Mehrfachkanten, also mehrere Kanten zwischen zwei Ecken. Multigraphen tauchen immer wieder auf nat¨ urliche Weise in der Graphentheorie ¨ auf. Manche der folgenden Uberlegungen gelten auch f¨ ur Multigraphen.

K2n+1 } eine um ein Element gr¨oßere Paarung. Sei umgekehrt P eine nicht-maximale Paarung. Dann gibt es eine gr¨oßere Paarung, und damit (nach eventuellem Weglassen von Kanten) auch eine Paarung P mit |P | = |P| + 1. Sei nun N := (P \ P ) ∪ (P \ P). Dann ist |N| ungerade und enth¨alt eine Kante mehr aus P als aus P. Da von keiner Ecke mehr als eine Kante in P bzw. in P ausgehen kann, k¨onnen von keiner Ecke mehr als zwei Kanten in N ausgehen. Die Zusammenhangskomponenten des von N aufgespannten Untergraphen sind daher entweder zwischen P und P abwechselnde Kreise (mit gerader Kantenzahl) oder zwischen P und P abwechselnde Pfade.

1. Beispiele daf¨ ur, dass die Umkehrungen nicht gelten, liefern die Polynome. Ω(g) und Θ(g) sind keine Untervektorr¨aume; o(g) ist ein Teilraum von O(g). Wegen (c) induziert lim |f(n)| n→∞ |g(n)| auch eine partielle Ordnung auf den Θ-Klassen. Falls der Grenzwert existiert, so gilt entweder f ω(g) := {f | g g. Setzt man noch f} = {f | g ∈ o(f)}, so ergibt sich folgendes Bild, f¨ ur eine feste Funktion g: ✻ ω(g) = {f | f ❄ ✻ lim |f(n)| n→∞ |g(n)| existiert nicht g oder f ∈ Θ(g) oder f g} lim |f(n)| n→∞ |g(n)| =∞ |f(n)| n→∞ |g(n)| <∞ lim |f(n)| n→∞ |g(n)| =1 |f(n)| n→∞ |g(n)| <1 lim |f(n)| n→∞ |g(n)| =0 ✻ ✻ 1 < lim Ω(g) Θ(g) {f | f ∼ g} O(g) 0 < lim ❄ ❄ ❄ ✻ o(g) = {f | f ❄ g} |f(n)| n→∞ |g(n)| Bemerkung: F¨ ur eine Funktion f ∈ O(g) muss der Grenzwert lim nicht unbedingt exi- stieren!

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