Download Arbeitsbuch Grundwissen Mathematikstudium - Höhere Analysis, by Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas PDF

By Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Visit Amazon's Thomas Sonar Page, search results, Learn about Author Central, Thomas Sonar, , Daniel Rademacher

Dieses Arbeitsbuch enthält die Aufgaben, Hinweise, Lösungen und Lösungswege aller Kapitel des Lehrbuchs Arens et al., Grundwissen Mathematikstudium - Höhere research, Numerik und Stochastik. Die Inhalte des Buchs stehen als pdf-Dateien auch auf der site zum Buch matheweb zur Verfügung. Durch die stufenweise Offenlegung der Lösung ist das Werk bestens geeignet zum Selbststudium, zur Vorlesungsbegleitung und als Prüfungsvorbereitung.

Der inhaltliche Schwerpunkt liegt auf den Themen der Vorlesungen research three / Höhere research sowie Numerik und Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Behandelt werden darüber hinaus Inhalte und Methodenkompetenzen, die vielerorts im zweiten und dritten Studienjahr der Mathematikausbildung vermittelt werden.

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Das ist die Behauptung. 21 •• (a) Hat p keine Nullstelle, so ist f = 1/p auf C holomorph. Da p(z) → ∞ gilt für z → ∞, gibt es C, R > 0 mit |f (z)| ≤ C für alle |z| ≥ R. Da außerdem f auf dem Kompaktum {|z| ≤ R} beschränkt ist, ist f auf C beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant. Folglich ist auch p konstant. (b) Induktion über n. Für n = 1 ist p(z) = az + b mit a = 0, also p(z) = a(z − c1 ) mit c1 = −b/a. Für den Induktionsschritt von n − 1 nach n sei c eine Nullstelle von p gemäß (a), sei n ak (z − c)k .

D ∈ Rd×d mit gij = ∂α ∂α · ∂xi ∂xj ist. 13 •• Sei M eine orientierte und geschlossene d + l + 1-Mannigfaltigkeit in Rn , d. h. kompakt und ohne Rand, und seien ω ∈ d (M) und η ∈ l (M). Zeigen Sie, dass dann dω ∧ η = a M ω ∧ dη M für ein gewisses a ∈ R gilt. 14 •• Sei M eine kompakte, natürlich orientierte 2-Mannigfaltigkeit in R2 und sei auf ∂M die induzierte Orientierung gegeben. Beweisen Sie die Green’sche Formel P dx + Qdy = ∂M M für eine 1-Form P dx + Qdy ∈ M. 1 • schaften. 4 •• Nutzen Sie die Eigenschaft f σ sgn(σ )f für alternierende Tensoren (siehe Seite 165).

P; vd )) ⎤ ⎡ v1 · b1 . . v1 · bd ⎢ .. ⎥ = det ⎣ ... ⎦ vd · b1 . . 13 •• d+l (M), so gilt Betrachtet man die Form ω ∧ η ∈ d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)d ω ∧ dη. Nach Voraussetzung ist ∂M = ∅ und daher folgt mit dem allgemeinen Satz von Stokes dω ∧ η + (−1)d d(ω ∧ η) = = det(V B) M M = det(V AE) ω∧η = = det(A) det(V E) ∂M = 0. = det(V E) = ωv (p)((p; v1 ), . . , (p; vd )), Also ist also ist ωv unabhängig von der gewählten Basis von Tp (M). 12 •• Sei A ⊆ Rd offen und α : A → Rn die Karte, die M überdeckt, dann gilt α ∗ ωv = hdx1 ∧ .

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