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By Gernot Stroth

Dieses Lehrbuchbietet eine Einfuhrung in die grundlegenden Methoden der Galoistheorie. Am Beispiel der Auflosbarkeit von Polynomgleichungen durch Radikale wird das Zusammenwirken dreier Theorien - Gruppentheorie, Korpertheorie und Ringtheorie - zur Losung dieses difficulties demonstriert. Behandelt werden neben den ublichen Grundbegriffen wie Gruppen, Korper und Ringe sowie den Resultaten der Galoistheorie auch Anwendungen auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, endliche Korper und Kreisteilungskorper sowieAuflosungsformeln der Gleichungen vom Grad hochstens four. Daruber hinaus wird der konkreten Berechenbarkeit und den Algorithmen zur Bestimmung irreduzibler Teiler von Polynomen bzw. der Galoisgruppe eines moderaten Polynoms ein breiter Raum gewidmet.

Die vorliegende zweite Auflage enthalt Erweiterungen zu den Themen rein inseparable Korpererweiterungen, p-adische Zahlen und Bewertungstheorie, angeordnete Korper undSatz von Sturm.

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3. Sei K = k(u) eine einfache Erweiterung. Ist u transzendent über k, so ist K k(x), k(x) der Quotientenkörper des Polynomrings und [K : k] = ∞. Ist u algebraisch über k, so existiert ein eindeutig bestimmtes irreduzibles Polynom mu ∈ k[x] mit höchstem Koeffizienten 1 und mu (u) = 0. Es sind [K : k] = grad mu < ∞ und K = [k ∪ {u}]K k[x]/mu k[x]. Beweis. Sei M = k ∪ {u}. 1 und definieren eine Abbildung σ : k[x] → [M]K durch σ (p) = p(u) für jedes p ∈ k[x]. Es ist σ ein Homomorphismus mit n ai ui | ai ∈ k, n ∈ N ∪ {0} = [M]K .

A∈k ¯, ein Widerspruch. Also ist |k| ¯ = ℵ0 . 24. Jeder Körper k hat einen algebraischen Abschluss. Beweis. Das Problem bei diesem Beweis ist, dass man nicht einfach die Menge aller algebraischen Erweiterungen von k betrachten und darin eine maximale suchen kann, da dies vielleicht gar keine Menge ist. Wir müssen also etwas vorsichtiger vorgehen. Wir suchen eine Menge S mit |S| > |k|, bzw. die überabzählbar ist, falls |k| endlich ist, so dass k in S enthalten ist. Ein Satz der Mengenlehre sagt, dass es so etwas gibt.

Per Induktion nach grad f ist f1 = q1 g + r1 mit grad r1 < grad g oder r1 = 0. Nun ist f = q1 + x n−m an g + r1 . bm Also haben wir eine Division mit Rest, d. h. K[x] ist ein euklidischer Ring. 28 ist dann K[x] ein ZPE-Ring. Ringe 21 (2) Ist f ∈ K[x] eine Einheit, so gibt es ein g ∈ K[x] mit f g = 1. 32(2) ist 0 = grad 1 = grad f g = grad f + grad g. Also ist grad f = 0. (3) Es gibt irreduzible Elemente, da nach (2) nicht alle Elemente Einheiten sind. Seien weiter p1 K[x], . . , pn K[x] die sämtlichen Primideale ≠ 0.

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